30 May

30May

Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.

Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en _{, y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto:}

Ejemplo 1.

Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal?

Al realizar los productos punto

nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal.

Ejemplo 2.

Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1); queremos determinar si son una base ortogonal de _.

Son 3 vectores en _{, se forma la matriz}

cuyo determinante detA = –24 (diferente de cero), lo que implica que los vectores son linealmente independientes, y el conjunto es base de _.

Realizamos los productos punto y obtenemos que

por lo que el conjunto es ortogonal, entonces, es una base ortogonal.

Ejemplo 3.

En el ejemplo 2 se determinó que los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1) forman una base ortogonal y se quiere saber si son base ortonormal, esto es, hay que calcular sus magnitudes.

Obtenemos que no son vectores unitarios, por lo tanto, no es una base ortonormal.

Recordamos que se puede obtener un vector unitario, paralelo y en la misma dirección de un vector dado, dividiéndolo entre su magnitud:

Se dice que el nuevo vector está normalizado.

Ejemplo 4.

Al normalizar los vectores de la base ortogonal de los ejemplos 2 y 3,

se obtiene una nueva base ortonormal.

Ejemplo 5.

Sean los vectores _.¿Forman estos vectores una base ortonormal en _?

Son los tres vectores en R y la matriz _{que obtenemos al poner los vectores como columnas es la matriz identidad, cuyo determinante vale 1. Esto implica que los vectores forman una base en _.}