4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades

30 May

30May

DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V.

Es obvio que, si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir.

De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V.

Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

1) Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

2) Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α

Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un subespacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en

H, la suma u + v está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

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