4.5 Espacio vectorial con producto interno

Producto Interno:

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real <u, v>.

Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real <u, v> con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas:

Propiedades:

• (v, v) ≥ 0
• (v, v) = 0 si y solo si v = 0, (u, v + w) = (u, v) + (u, v) (u + v, w) = (u, w) + (v, v) (u, v) = α (u, v)
• (αu, v) = α (u, v)
• (u, αv) = α (u, v)

Espacios con producto interior:

El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación.

u * v = Producto punto (producto interior euclidiano par Rn)

<u, v> = producto interno general para espacio vectorial V.

Propiedades de los productos interiores:

• <0, v> = <v, 0> = 0
• <u + v, w> = <u, w> + <v, w>
• <u, cv> = c <u, v>.

Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno.

Esta unidad de álgebra lineal se puede estudiar antes o después de la unidad “Formas bilineales y cuadráticas”; el estudio de una de estas unidades ayuda mucho en el estudio de la otra. En cualquier caso, se supone que los estudiantes conocen el producto punto en los espacios R² y R³.

• Definición (producto interno en un espacio vectorial real). Sea V un espacio vectorial real. Una función p: V × V → R se denomina producto interno en V si cumple con las siguientes propiedades:
• p es lineal respecto el primer argumento:
• p (u + v, w) = p (u, w) + p (u, w)         u, v, w ϵ V,
• p (u, v) = p (u, v)     u, v, ϵ V
•  
• p es simétrica:
• p (u, v) = p (v, u)         u, v ϵ V:
•  
• p es definida positiva:

p (v, v) > 0       v ϵ V \ {0}.

• Linealidad respecto al otro argumento. Sea V un espacio vectorial real y sea p una función lineal respecto al primer argumento y simétrica. Entonces p es lineal respecto al segundo argumento:
• p (u, v + w) = p (u, w) + p (u, w)         ∀u, v, w ∈ V,
• p (u, λv) = λp (u, v)     ∀u, v ∈ V ∀λ ∈ R;
• 
  
• Demostración. Aplicamos la propiedad simétrica, luego la propiedad aditiva o homogénea respecto al primer argumento, luego otra vez la propiedad simétrica:
• 
  
• p (u, v + w) = p (v + w, u) = p (v, u) + p (w, u) = p (u, v) + p (u, w);
• p (u, λv) = p (λv, u) = λp(v, u) = λp(u, v).
• 
  
• Notación común para el producto interno. En cualquier espacio vectorial real o complejo, excepto el espacio nulo {0}, existen muchos productos internos. Si un espacio vectorial se considera con un producto interno fijo, entonces este producto interno se denota habitualmente por <·, ·>, es decir, en lugar de p (u, v) se escribe <u, v>.

Ejemplos de espacios vectoriales reales con producto interno

• Ejemplo principal: R n con el producto interno canónico (“producto punto”).
•    ∀x, y ∈ R n.
• 
  
• Notemos que el producto punto se puede escribir en forma matricial:
• 
  
• Ejemplo. V³ (O) con el producto
• <u, v>: = |u| · |v| · cos ∠ (u, v)          ∀u, v ∈ V² (O).
• 
  
• Las longitudes y el ángulo se definen con los axiomas de Euclides.
• 
  
• Ejemplo. V 2 (O) con el producto
• <u, v>: = |u| · |v| · cos ∠ (u, v)         ∀u, v ∈ V² (O).
• 
  
• Notemos que V² (O) es un subespacio del espacio euclideano V³ (O). Esto significa que V² (O) es un subespacio vectorial de V³ (O), y el producto interno en V² (O) es una restricción del producto interno en V³ (O).
• 
  
• Ejercicio. Demuestre que la siguiente función es un producto interno en M_mxn (R):
• 
  
•       ∀A, B ∈ M_mxn (R). 
• Plan:
• 1) Recordar propiedades de la traza y de la matriz transpuesta.
• 2) Probar la propiedad lineal respecto al primer (o segundo) argumento.
• 3) Probar la propiedad simétrica: <A, B> = <B, A>.
• 4) Expresar <A, B> en términos de las entradas de A y B (se obtiene una suma doble).
• 5) Expresar <A, A> en términos de las entradas de A.
• 6) Mostrar que si , entonces A, A > 0.
• 
  
• Ejemplo. R² con el siguiente producto interno:
•  
• <x, y>: = x₁ y₁ + x₁ y₂ + x₂ y₁ + 4x₂ y₂ = , ∀x, y ∈ R².
• 
  
• Es una forma bilineal simétrica, y para cualquier x ∈ R² se tiene que
• 
  
• <x, x> = + 2x₁ x₂ + 4= (x₁ + x₂)² + 3 ≥ 0.
• 
  
• Falta notar que la igualdad <x, x> = 0 es posible solamente cuando x₁ + x₂ = 0 y x₂ = 0, esto es, cuando x = 0₂.
• 
  
• Ejercicio. Demuestre que la función R² × R² → R definida por la siguiente regla es un producto interno en R²:
• <x, y>: = 4x₁ y₁ + 2x₁ y₂ + 2x₂ y₁ + 2x₂ y₂        ∀x, y ∈ R².
• 
  

Propiedades simples del producto interno en espacios vectoriales reales

• Producto interno y el vector cero. Sea v ∈ V. Entonces

<0, v> = 0,             <v, 0> = 0.

Demostración. Demostremos que <0, v> = 0, entonces la igualdad <v, 0> = 0 se obtendrá por la propiedad simétrica.

• Nota. En cualquier espacio vectorial real o complejo, excepto el espacio nulo {0}, existen muchos productos internos. Si un espacio vectorial se considera con un producto interno fijo, entonces este producto interno se denota habitualmente por , es decir, en lugar de p (u, v) se escribe <u, v>.

• Ejercicio. Sean u₁, . . ., u_p, v₁, . . ., v_q ∈ V, α₁, . . ., α_p, β₁ . . ., β_q ∈ R. Demuestre la fórmula:
• =
• 
  
• Definición (espacio euclideano). Un espacio vectorial real de dimensión finita con un producto interno se llama espacio euclideano.

Fuentes de información:

https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-4---espacios-vectoriales/espacio-vectorial-con-producto-interno

http://esfm.egormaximenko.com/linalg/real_vector_spaces_with_inner_product_es.pdf

Fuentes de información en videos explicativo:

https://www.youtube.com/watch?v=S1VJPHhu8Us

https://www.youtube.com/watch?v=MTO2mfatDkI

https://www.youtube.com/watch?v=_1aGxNBadC4