Un conjunto de vectores S= {v1, v2, …, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.
* S genera a V.
* S es linealmente independiente
Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.
Base
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2, …, vn forman base para Rn.
Si S= {v1, v2, …, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:
1. V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn
2. V = k1v1+ k2v2+…+ knvn
Restar 2-1
0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+ (cn- kn) vn
Ejemplo:
demostrar si S = {v1, v2, …, v3} es base de R3, v1 = (1,2,1); v2 = (2,9,0); v3 = (3,3,4)
Proponer vector arbitrario, combinación lineal
b = c1v1+ c2v2+ c3v3
(b1, b2, b3) = c1(1,2,1) + c2(2,9,0) + c3(3,3,4)
(b1, b2, b3) = c1+2c2+3c3;2c1+9c2+3c3; c1+4c3
c1 + 2c2 + 3c3 = b1 det A = [(1*9*4) + (2*3*1) +0] - [(1*9*3) + 0 + (4*2*2)]
2c1 + 9c2 + 3c3 = b2 = [36+6] - [27+16]
c1 + 4c3 = b3 = -1 Si genera a R3
Dimensión
Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.
La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.
Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.
Ejemplo: Determinación de la dimensión de un subespacio
Sea W el subespacio de todas las matrices simétricas en M2,2 ¿Cuál es la dimensión de W?
Solución: Toda matriz simétrica 2 X 2 es de la forma
Por consiguiente, el conjunto
Genera a W. Además, puede demostrarse que S es linealmente independiente, y se concluye que la dimensión de W es 3.
Para concluir que un conjunto S= {v1, v2, …, vn} es una base de un espacio vectorial V es necesario saber que S satisface dos condiciones: que S genera a V y es linealmente independiente.
Definición de Espacio Renglón y Espacio Columna de una matriz
Sea A una matriz m x n.
El espacio renglón de A es el subespacio de Rn generado por los vectores renglón de A.
El espacio columna de A es el subespacio de Rn generado por los vectores columna de A.
Estos dos comparten muchas propiedades, pero debido al conocimiento que se tiene sobre las operaciones elementales en los renglones se empieza por considerar el espacio renglón de una matriz. Cabe recordar que dos matrices son equivalentes por renglones si una puede obtenerse a partir de la otra al aplicar operaciones elementales en los renglones. El siguiente teorema establece que las matrices equivalentes por renglones tienen el mismo espacio renglón.
Fuentes de informacion: